Не из, а в Алтай. Направление миграции было в другую сторону: из Африки через Аравийский полуостров, затем через Индию и по побережью вплоть до Кореи и затем Маньчжурии. Теория прибрежной миграции, о которой я тут на форуме писал много раз.
Мне кажется отыршайшы происходит от отыршы-әй, которое сократилось до отырш-әй. Потом к нему повторно добавили -шы. Получилось отыр-шы-ай-шы, отыр-ш-ай-шы.
Возможно это связано с тем что людям свойственно прославлять свое собственное племя, род, семью, а не джуз в целом, который является собранием разных племён, иногда никак не связанных.
Последняя это не Қ. В конце это чисто арабское окончание -тун, которое иногда читается как -h. То есть полностью слово читается Қалғаh или Қалғат-ун. В зависимости от контекста.
Хорошо что вам никто не даст "запихать". В турецком когда меняли алфавит с арабского на латынь тоже "запихали" к и қ в одну букву k. Это привело к тому что современные турки не различают эти звуки и произносят все как К. Нынешние шала-казахи и изучающие язык иммигранты будут читать именно так как написано, а не как подразумевается. Поэтому я сторонник того чтобы на письме передавались все звуки в полном объеме без "подразумевания" - здесь мы пишем А но имеем в виду Ә, здесь О но имеем в виду Ө.
В монгольском самое близкое что я нашел:
балгас - город
балхас - трястись (о животе)
Оба слова не подходят для названия озера совсем. То есть слово врядли является монголизмом.