Я не монголовед, я только учусь.
1) Касательно цвета радужной оболочки глаз, о чем писал Рашид ад-Дин, предположительно первая часть прозвища "борджигин" - "бор".
Если я не ошибаюсь, то в монгольских языках для цвета глаз не используют слово "бор - боро".
Например, калмыки на серые глаза говорят "Боз нүдн", а халха-монголы вроде бы "саарал нүд".
А "бор" просто как серый цвет, оттенок, масть есть и в казахском языке.
2) К цвету глаз, к радужке, имхо веко не причастно, если говорить о второй половине прозвища "борджигин" - "джигин".
К тому же я не вижу связи или даже близкого созвучия халхаского "зовхи", бурятского "зубхи" и калмыцкого "зовк" с искомым "джигин".