Есть старая статья лингвиста Владимирцева, который пишет о том, что термин "беги" обозначал "княгиню" и не имел отношения к термину "бек".
этот термин встречается также в современном халхаском, что может говорить о том, казахское "бике" может быть наследием монгольского этнического компонента, как и термин "нагачу".