Хорошая и интересная мысль.
Налицо путаница у поздних писарей истории "золотого рода", потому что емнип к деревянному ишаку был прибит по одним мифам дедушка керейтского Тугрул-хана (Маргуз-хан), по другим некто Амбагай, которого все считают предком халхасцев и мифического Хамаг улуса.
Я тоже давно подозреваю, конечно небезосновательно, что Чингизхана спионерил у керей[т]ов даже их улус на западных отрогах Алтая и Иртыше!
Но думаю это произошло не просто так, ведь он не пионерил улус найманов, джалаиров или кыргызов, а тем более земли Китая или Самарканда.
Причина я думаю проста - род Чингизхана изначально входил в Керейтский улус!!!
Именно поэтому место рождения Чингизхана, место захоронения Чингизхана, его сыновей и внуков, первая столица их империи, юрты всех четырех сыновей на первых порах - всё это согласно смыслу письменных источников располагались на западных отрогах Алтая, на Иртыше и в окрестностях!