Честно говоря и не подозревал, что монголизм нагаш так распространен среди тюркских народов. Если убрать из списка тувинский, окажется, что этот термин сохранился у народов, входивших в состав Золотой Орды, и по всей видимости является реликтом именно монгольского владычества на Волге.
По татарскому, если это слово в единственном варианте зафиксировано лишь в одном словаре Хальфина - это можно объяснить особенностями говора тех татар у которых этот термин Хальфин зафиксировал. Там же написано, что в сосвременном татарском и других говорах этого слова нет. Та группа в 18 веке у которой был записан этот термин вполне может оказаться казахской группой.
По остальным тоже надо смотреть. Вы сами приводили словарь с древним термином ТАЙ, который характерен для всех тюркских языков.