Напишу кратко.
Кайы, кыйя, кайиг - это одно и то же название на разных диалектах.
Т.е. этноним "кайы/кай" - это обычное слово "кайа" (напр. на алтайском языке) или по казахски/кыргызски/каракалпакски "қыйа", означающее косогор, утес, скалу и т.д
QAJA (КАЙА) - скала, ДТС, стр 406.
http://ded-altai.ru/history/russko-altayskiy-slovar
https://sozdik.kz/ru/dictionary/translate/kk/ru/қыя/
"Кайиг" - это тот же самый "косогор", "утес" и т.д. только на другом диалекте.
Сейчас это слово сохранилось напр в хакасском языке в виде "Хыйыг" - косогор, откос.
https://books.google.co.kr/books?id=5iL_AgAAQBAJ&pg=PA298&lpg=PA298&dq=хыйыг&source=bl&ots=kl-gx-Oq6C&sig=ACfU3U2iCKyscfT4DHy3ebWGjKeI7MNhdg&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjzn52vxeDqAhXR7GEKHTgpCd84ChDoATAAegQICBAB#v=onepage&q=хыйыг&f=false
Т.е. кайы/кай=кайа/кыйа=кайиг = хыйыг. Это всё одно и тоже название на разных диалектах.
Таких примеров много: яглахыр-джалаир, огуз-ууз и т.д.