Этимологии ізгі у меня пока нет, но казахское игі и кыргызское ыйык это не одно и то же понятие.
Примеры из других языков:
тофаларский экки - хороший, добрый
тувинский эки - хороший, добрый
башкирский иге - хороший, добрый
карачаево-балкарский иги - хороший
каракалпакский ийги - хороший, добрый
турецкий iyi - хороший
кыргызское же ыйык означает священный, а не хороший, добрый. Перевод священный отсутствует во всех перечисленных языках, а перевода добрый, хороший нет в кыргызском ыйык.
По сути игі это синоним слова жақсы.