Думаю, вряд ли здесь имеют какое-то отношение и киргизы и татары.
И я лично, и все мои знакомые русские считают бешбармак исключительно казахским блюдом.
Думаю, русские говорят "беш-", а не "бес-" просто из-за удобства произношения, и что бы не принимать первый слог за отрицательную приставку, как в словах "бессонница", "бесправие", ""беспризорник" и т.д., а не потому, что слово попало в русский язык через посредство киргизского или татарского языка.