Тебе еще надо много много читать, чтобы больше и лучше узнать казахскую этнографию, а особенно Степного края.
Тебе из-за скудности знаний кажется, что весь мир должен искажать как вы южане название этой древней игры.
Сильно копаться не хочется, но могу на вскидку привести тебе 3 примера:
1) Кыргызы в отличие от вас тоже не искажают и называют игру "Көк бөрө";
2) Мой земляк покойный академик Алькей Хаканович Маргулан записал легенду про исход в Ергене-кон и тоже называет игру правильно "Көк бөрі", без искажения;
3) В трудах этнографов записано название игры "Көк бөрі", бытовавшее среди казахов Сарыарки, Степного края. Ссылки я приводил раньше.