да, вы правы - здесь я позволил себе домыслить сообщение источника.
Кстати, если учесть, что активная деятельность этого пасынка приходится на 1240-1250 гг. (Карпини, Джувейни, рус летописи), то можно ориентировочно просчитать возраст Байку.
Он старше Бату был, наверное 1180-1190-х годов.