Из смолистого нароста вылез УЙГУР. То, что найман Инанч-Билгэ взял себе имя древнего уйгура, не говорит о том что Инанч-Билгэ вылез из дерева.
Царя найманов, бывшего у них до вражды Чингиз-хана с найманами, называли Инанч-Билгэ 678 Буку-хан. Значение слова инанч – верить; билгэ – прозвище, [означающее] «великий». Буку-хан в древние времена был великим государем, [к памяти] которого уйгуры и много [других] племен относятся с полным уважением и рассказывают, что он родился от одного дерева. Словом, этот Инанч-Билгэ Буку-хан был почтенным государем и имел сыновей.
По Вашему получается что из дерева вылез дед Таян-хана и Буюрука. НО! Буку-хан из смолистого нароста был БУКУ-ХАН, без всяких Инанч-Билгэ.
Словом, этот Инанч-Билгэ Буку-хан был почтенным государем и имел сыновей. У его старшего сына было основное имя Бай-Бука;
Бай-Буку назвали Таян-хан. [Инанч-Билгэ-хан] имел другого сына, по имени Буюрук-хан.
Это еще одна ошибочная идея Вашей гипотезы.