Казахские жагалбайлы в Монголии относят себя к найманам. Узбекские и ногайские жагалбайлы входят в состав узбекских и ногайских найманов.
Есть еще и другие косвенные аргументы.
Почему два названия? Все это связано с Уйгурским каганатом.
Начну с того, что найманов связывают с древнеуйгурским каганом Идигянем или Буку-каганом, который согласно легендам был рожден от дерева. Причем Марко Поло конкретизирует, что он был рожден от нароста древесного сока, смолы САГИЗ.
Вообще jaɣlbaj - jakɨl - это маленький сокол (жағалтай, жағалмай, тұрымтай). Я считаю, что с этим "соколом" и связано известное название чигиль. Тем более чигиль (джикиль) в источниках писалось как [jkl].
В 780 году снесли Идигяня или Буку-хана и власть в Уйгурском каганате заняла нелегитимная боковая ветвь яглакаров. Эта новая верхушка (Дуньмага каган, советник Цзяде) согласно китайским источникам в 788 году запустила процесс переименования Уйгурского каганата в некое новое название хуэйху, которое означало "сокол" - "Смысл заключается в том, [что уйгуры] в нападении маневрировали так же стремительно и успешно, как кречет (сокол)"
Более того, новая династия эдизов, пришедшая к власти в 795 году, тоже официально обращалась в династию Тан с просьбой переименования своего народа в официальных документах и переписке.
Это "соколинное" название имхо и есть тюркское название сокола jaɣil (jaɣlbaj). Других кандидатов пока не вижу. Т.е. найманы имеют самое прямое отношение к названию чигиль-jaɣil -jaɣlbaj.
Как видим, наблюдалось изменение названий всего народа даже после дворцового переворота. Под разными названиями можно видеть одну группу родственных племен или народ или отдельные фрагменты одного народа могли сохранять древние архаичные названия. В данном случае часть найманов, т.е. жагалбайлы сохранили древнее архаичное название чигиль- [jkl] - jaɣil -jaɣlbaj.