Думаю -лай трансформировался из более древнего -ли.
порылся в ССМ и нашел это же слово в параграфе 268.
268. [12a] Tangγut irgen-i dawuliǰu Iluqu-burqan-i Šidurqu bolqaǰu imayi büte’eǰü Tangγut irgen-ü eke ečige-yi uruq-un uruq-a gürtele muquli musquli-yi ügei bolqan [12b] ide’e ideküi ǰa’ura muquli musquli ügei ke’en ükü’ülün ečitken kelelen atqun ke’en ǰarliq bolba Tangγut irgen üge ügüleǰü üge-tür ülü gürgü-yin tula Tangγut irgen-tür Činggis qahan nökö’ete ayalaǰu Tangγut irgen-i muqutqaǰu [13a] ireǰü qaqai ǰil Činggis qahan tenggeri-tür qarba qaruqsan-u qoyina Yisüi qadun-a Tangγut irgen-eče maši ökbe
§ 268. Разгромив Тангутскнй народ и покончив с Илуху-Бурханом, переименованным в Шидургу, государь соизволил повелеть: "Так как я истребил Тангутов до потомков потомков их и даже до последнего раба - мухули-мусхули угай болган, то пусть напоминают мне о таковом поголовном истреблении за каждым обедом, произнося слова: "Мухули-мусхули угай!" Дважды ополчаясь на Тангутский, народ за нарушение данного слова. Чингис-хан, после окончательного разгрома Тангутов, возвратился и восшел на небеса в год Свиньи (1227). Из Тангутской добычи он особо щедро наградил Есуй-хатун при самом отшествии своем.
Здесь тот же muquli употреблена в том значении как в современном монгольском.