1. При чем здесь руководство Монголии вообще? Мы с вами обсуждаем "новых" борджигинов или настоящих?
2. В 13 веке были борджигины, в 18 веке они в составе халха-монголов — прямых потомков монголов ЧХ. Про татарские племена не надо мне писать, ваша эфемерная "татар-монгольская" общность не обладала признаками родства, т.е. татары, кереиты, найманы, ойраты, монголы - на то время были разными народами. Все это говорит о том, что халха-монголы прямые потомки монголов ЧХ. Именно в Монголию ушли монголы Юань.
3. При чем здесь вообще утеря?
4. Не понял, что вы хотите сказать?
Итого: есть в 13 веке на территории Монголии борджигины. Есть там же в 18 веке в составе халха борджигины. Язык одинаковый. Прямое родство очевидно.