Пока оставайтесь при своем мнении, а я при своем.
Я не филолог, ни тюрколог, но на своем дилетантском уровне все таки считаю, что тюркские существительные с аффиксом "как/гак" образуются из глаголов (на примерах из ДТС и поздних языков):
булгак (смута, волнение) - гл. булга (перемешивать, смешивать, мутить)
тургак, турмак (стояние, стража) - гл. тур (стоять)
басмак (башмак) - гл. бас (давить, подавлять, нападать)
ваш пример тышкак (серунишка)) - гл. тышу (какать)
и т.д.
Если это так, то и баскак может быть образовано из глагола бас (давить), но не из сущ. бас (голова).
Если найдете мне в этих или в других аналогичных словах в основе слов имена существительные, от которых образованы термины, то я тогда перейду на вашу позицию, признать свою ошибку или заблуждение всегда не поздно.