Да. Воспоминания саяков про Рум, Эретну и Миср-Нил являются суперценными. С саяками тот самый случай, когда данные фольклора полностью соответствуют данным релевантных исторических источников. Генетика - это всего лишь вспомогательный инструмент, орудие, приспособление историка, не более, т.е. неправильно телегу ставить перед лошадью. Само название саяк - "скиталец" говорит само за себя. Плюс название азық можно понимать не как "провиант", но и как азақ/азуқ "беглый, потерявшийся, заблудившийся" с древнетюркс.яз., т.е. парное саяқ-азақ - "скитальцы, убежавшие, заблудившиеся".
Данные фольклора, что дескать саяки близки к қазақ, наверное надо понимать так: под қазақ тут понимались именно переселенные Тимуром номады из Ильханата, а не все предки нынешних казахов, большинство (т.е. больше половины) которых составляли ордынские узбеки. Поэтому я уже писал, что термины қазақ ("одинокий", "убежавший", "потерявшийся" и т.д.) и саяқ ("одинокий", "скиталец") одного семантического поля, а если еще проще, то саяқ=азақ=қазақ, это с оговорками синонимичные термины, к ним присоединяется и термин "некен" ("одинокий").
Теперь эпизод, как кипчаки кинули Хулагу и со скарбом и семьями ушли к своим в Миср:
https://www.vostlit.info/Texts/rus16/Rasidaddin_4/frametext2.html
пожаловал его брату, сахибу Ала-ад-дину Ата-мелику. Устроив упомянутые дела, [Хулагу-хан] все же печалился из-за обмана своих завистливых родственников. Занимаясь мероприятиями для возмещения потерь, он приводил в порядок войско. Еще раньше он избрал Джелаль-ад-дина, сына младшего даватдара, и возвысил его, а тот выставлял себя во мнении государя мира, что более-де сочувствующего во всем улусе государевом никого нет. На служении он доложил: «Поскольку поход в Кипчакскую степь решен твердо, то во владении халифа до сих пор еще есть несколько тысяч турок-кипчаков, которые хорошо знают обычаи Кипчакбаши. Ежели будет дан указ, я пойду и соберу их, чтобы [62] в войне с Беркеем они были передовым отрядом». Хулагу-хан одобрил, пожаловал ему ярлык и пайзу, чтобы багдадские хакимы выдали все, что Джелаль-ад-дин потребует из денег, оружия и снаряжения, и чтобы никто не вмешивался в его дела, дабы он исполнил то важное поручение, для которого назначен. В месяцах лета 662, согласно указу, [Джелаль-ад-дин] отправился в Багдад и всякого, кого находил подходящим для военного дела, забирал. Иногда он, намекая, с задней мыслью приговаривал: «Государь вас забирает, чтобы сделать вас щитом |A 209b, S 477| от вражьей напасти, дабы вы там умерли или обрели славу. А ежели в той войне вас не убьют, то вам в другом сражении предрешена такая участь. Вы знаете, каковы мои достоинства и благородное происхождение. Я одного с вами рода, и хотя Хулагу-хан оказывает мне полное благоволение, я все же не допущу превратить вас в корм для меча. Я так располагаю: давайте распрощаемся с могуществом и счастьем монгольским и я себя и вас освобожу от монгольского указа. Надо, чтобы вы поладили со мной и стали мне товарищами». Народ тот соблазнился его словами. После того как он собрал тех разрозненных воинов, он с литаврами и со знаменем выступил в поход, по Багдадскому мосту переправился [через Тигр], напал на арабское племя хафаджа и отбил некоторое количество буйволов и верблюдов. Жалованье и необходимое для воинов, как то: лошадей, оружие и довольствие, он взял в багдадской казне и снова двинул воинов с женами, детьми, домочадцами, приверженцами, пожитками и добром. Снова он [приказал] пробить на литаврах поход, перешел через мост и сказал: «Домочадцев и семьи поведем с собою, дабы они поклонились святым местам, ибо отныне наше местопребывание будет находиться во владениях Дербента, Ширвана и Шемахи. Мы, воины, отправимся и добудем продовольствие от враждебных арабов [племени] хафаджа». Когда же он переправился через реку Ефрат, он сказал воинам: «Я намереваюсь пойти в Сирию и Миср. Ежели кто пойдет со мною – ладно, а не то пусть отсюда же возвращается обратно». Они из страха за свою голову ничего не могли сказать и отправились вместе с ним в Сирию и Миср по дороге на Ану и Хадису. Когда весть об этом дошла до слуха государя, он весьма разгневался. В ту пору он постоянно тонко обдумывал, как справиться с врагами и к тому прибавился еще и этот случай