Мы выдвигаем лишь гипотезы.
Вы теперь начали (отчаянно) цепляться за варианты написания термина: керей, кирей, гирай, гирей и т.д. Здесь нужно смотреть на основу термина и как оно пишется/произносится в разных тюркских языках/диалектах.
(Например, термины "салшык", "салчак", "сельджук" или "кыйя", "кайя", "хайиг" и т.д. означают одно и то же, это просто разные тюркские языки/диалекты)
Теперь еще раз напишу свою точку зрения.
Кер/кир/гир в тюрских языках означают гнедую, караковую, мухортую масти, т.е. диапазон цветов/оттенков, связанных с темно-красным, карим, коричневыми цветами.
Мы с ув Акб как-то анализируя этот вопрос пришли к тому, что основа "кер" или "кир" была связана с темно-красным цветом, в частности с темно-красным лицом древнеуйгурского Баинчура/Маинчура, другое имя его по китайским источникам было Гэлэй-каган (Керей-каган). Кстати цвет "байн" с древнетюркск. означает тоже "густо-красный цвет", а "чур" - это емнип господин. На монгольском и тунг.-маньчж. языках "ширин" тоже "красная медь", "бронза".
И потом монгольского Бодончара монгольские историки отождествляют с древнеуйгурским Баинчуром (Степмен давал ссылки)
У Гардизи есть персонаж из токуз-огузских владетелей по имени "кур-тегин", с учетом проблем с огласовками в персидских текстах и издержках перевода я думаю речь идет о том же Кер-е или Керей-е с уменьшит-ласкат. аффиксом "ай","ей". Так сведения Гардизи об этом токуз-огузском Кер-тегине совпадают с данными о Баинчуре/Маинчуре.
Кому действит-но интересно, могут поискать обсуждение через поисковики форума.