Абель Ремюза придерживался последнего мнения вслед за Ю. Клапротом, считавшим, что в правление Чингис-хана (1206 — 1227), oгoдэй-хана (1229 — 1241), Гуюк-хана (1246 — 1248) и Мoнкэ-хана (1251 — 1259) монголы писали не по-монгольски, а по-уйгурски
Теперь касательно того что якобы монголы писали на уйгурском языке до конца правления Мунке-кагана. После смерти Мунке-кагана известны также некоторые документы, написанные на уйгурице, напр. приказ на уйгурском языке Арик-Буки, ильханский контракт и т.д.. После смерти Мунке-кагана правитель империи Юань Хубилай отказался от уйгурского письма и внедрил так называемое квадратное письмо Пагба-Ламы, которое больше удовлетворяло потребностям населения Юань.
https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Монгольское_квадратное_письмо
"Монгольское письмо этого периода использовало уйгурский алфавит с минимальными изменениями, который недостаточно отражал фонетику монгольского языка. С созданием стабильного полиэтнического государства — империи Юань — Пекин впервые стал столицей одновременно для Китая, Кореи, Тибета, Монголии, Юньнани и других регионов. В результате появилась проблема письменной коммуникации двора монголов и многонационального чиновничьего аппарата с носителями языков с принципиально иными фонетическими принципами, в первую очередь китайского.
Монгольский хан и император династии Юань Хубилай-хан обратился к своему духовному наставнику, тибетскому монаху, главе школы Сакья, Пагба-ламе с тем, чтобы последний создал новый алфавит для всей империи..."
Т.е. руководителю империи Юань Хубилаю в связи с изменившейся этнической и соответственно и языковой ситуацией уже понадобился другой язык (письменность). Напомню, что в письме- претензии со стороны партии олдскульного чингизхановского пути, т.е. консерваторов-"йусунистов" в адрес "отступника" Хубилая в том числе упоминалось введение Хубилаем НОВОГО ПИСЬМА, или как они написали "изучаешь ИХ методы/способы чтения и письма"
https://forum-eurasica.ru/forums/topic/6955-распад-монгольской-империи-после-смерти-мунке-йусун-йасак-катаган-или-китаизация-джете-джато-үйсін-йусун-ұлы-жуз-фальсификации-дулати/?do=findComment&comment=463310
"Старые обычаи нашей династии - это не законы Хань. Сегодня, [ когда ты] остаешься на Ханьской территории, строишь столицу и города, изучаешь их методы/способы чтения и письма, а также используешь законы Хань - что будет со всем нашим старым (обычаями)?"