Малахай и Тымак имеют значение - просто "шапка". Т.е. монгольский и тюркский вариант одного слова, просто синонимы.
Дело в том, что малахай/тымак единственный вид казахской зимней шапки, поэтому и называется просто "шапка". В русском языке аналогично, головной убор - это прежде всего шапка зимняя, а не кепка или что-то еще. Другое слово - калпак, что в принципе не шапка в общепринятом понимании а другой вид головного убора.
С учетом климатических условий малахай/тымак носили и носят большую часть времен года.
У монголов любой вид головного убора называется "малгай", но так ли было у средневековых монголов? В любом случае в языке и словах со временем происходят изменения. У нас к примеру сохранился изначальный смысл слова "улус" а у монголов он изменился.
Слово "шапка" по смыслу может быть чем-то общим и расплывчивым по смыслу. Т.е. любой головной убор по сути "шапка", хоть и пежде всего это зимний теплый головной убор. Тоже самое в нашем и в средневековом монгольском, да и в тюркском языке.
Соглашусь с АКБ в том, что основной головной убор народа - один из его главных отличительных признаков и один из важнейших культурных элементов.