Акжол (Даир-ходжа) и его сын Кара-ходжа, судя по всему был тесно связан с суфийским тарикатом Накшбандия (ветвь базировавшаяся в Фергане), поэтому эти приставки ходжа и сопы (суфи) у Даир-ходжи, Кара-ходжи и внуков (Аксопы, Карасопы, Болаткожа (Каракесек) и т.д.).
Вполне возможно оттуда их происхождение.