Что вы подразумеваете под Центральной Азией? У разных людей разное отношение к термину, некоторые туда Монголию включают, некоторые Афганистан.
И запомнили его не "Вост.Европа , Русь, Кавказ", а отдельные летописцы, коих было мало в целом и не выпячивали они его роль в этом походе.
П.С. Ваша попытка отцепить его от истории Казахстана бессмысленна. Чингиз-хан Казахстан поделил на два крыла. и Западная часть принадлежала, Бату как впрочем и саинхановские туркмены, так что не пытайтесь фантазировать там где вы не компетентны.