Не всё войско наймана Кет-бука нойона сгинуло, часть спаслись, уцелели и конечно передали информацию о его подвиге и т.д.
https://www.vostlit.info/Texts/rus11/Vardan/frametext4.htm
В этом же году было истреблено войско, оставленное Хулаву Эль-ханом в Шамской земле для ее охраны в числе двадцати тысяч под начальством великого полководца, Кит-Бухи, христианина по вере, которому султан Мисра (Египта) во главе бесчисленного войска дал сражение у подошвы Фаворской горы. Войско Бухи, как малочисленное, потерпело поражение; часть его отведена в плен, а другая, размявшись, скрылась и, таким образом избавившись, явилась к царю армянскому. Многие Татары и христиане встретили в нем сострадание и, получив от него одежду, лошадей и съестные припасы, с признательностью (в сердцах) возвратились к своему государю. С тех пор в лице царя Хетума прославилось имя Христа и между своими и между чужими.
Вряд ли потомки не сохранили сведения о таком великом предке Кет-буке. Ну а жырши Кет-бука - это всё таки "продукт" устной историаграфии. Нужно критически относиться к ней.
В целом, немало найманов было на администр. должностях в Ближнем Востоке.