Моя версия.
1)
В тюрко-монгольских языках разграничения понятий "океан" и "море", емнип, не было и нет.
Для любого большого водоема (океан, море, большое озеро без горизонта) у тюркских и монгольских народов использовался один термин "тенгиз - тэнгис".
Имхо, в современные монгольские языки дополнительный термин "далай" - "океан", "великий", "обширный" (а "море" у них по прежнему "тэнгис"), пришел из Тибета в 17 - 18 в.в. вместе с религией лаламизма.
Тибетский язык: "Тa'ala'i": 1) Океан; 2) Великий, превосходный, обширный, мудрый.
2)
Да, принято считать, что якобы тибетская религия, тибетцы и высшие тибетские духовные лидеры пользуются монгольским словом "далай".
В этом мало верится, во-первых, по причине, указанной выше, во-вторых, Далай-ламы в Тибете были задолго распространения Ламаизма среди монголоязычных народов и контактов монголов с Тибетом - это 14 - 15 в.в.