Ну тут источники ограничены.
В Хорезмских нет сына Каир-хана, в Китайских другого нет.
Это нормально.
При этом и потомок Инасы и Теркен-хатун (кузина Иналчука) были из рода баявут.
Линия Инасы были ханами.
Иналчук то же был стар. Он был двоюродным дядей Мухаммеда Хорезмшаха, у которого были уже свои внуки и взрослые дети.