Предлагаю рассмотреть двойные гласные на примере тюркского слова (обозначения) «Афган».
На кыргызском Ооганстан (Ооғанстан), на казахском Ауғанстан. Ооп (ауып) кетти, ооган — подниматься в гору, переваливаться, скрыться. В DLT Кашгари «ағмак» — взбираться. То есть «Ооган жер» — это земли за перевалом.
Тоже самое с оодарыш (аударыс - каз, огдариш - узб, ағдармак - DLT) и оор (ағыр), ооз (ағыз), тоо (тау, тоғ, тағ).
Кыргызский «оо», узбекский «оғ», казахский «ау(ы)» это «ағ» в DLT.
Кыргызский, казахский (возможно), узбекский и уйгурский вышли из одного общего языка. Кыргызский язык стоит посередине между узбекским/уйгурским и казахским.
Саяно-алтай тут не при чем, там другая логика образования двойных гласных.
Кстати «рот», «больной», «гора» на хакасском будут ахсы, ағырығ, тағ.