Я любитель.
Считаю, что "татар" от "татх (калмык)-тянуть; собирать". То есть слово разбивается на два разных понятия.
Первое значение, современное "тянуть" образовало "татур-подпругу".
Второе, устаревшее "собирать налог"(тоже в каком-то смысле тянуть ))) образовалось "татар - призыв, сбор"
Тогда есть вы захватываете территорию или требуете зависимых от вас соседей выставить людей для войны (заплатить налог кровью). Эти люди теперь "ТАТ-АР".
Чингис с Ван-Ханом тоже могли быть для тех же китайцев "татар", ведь они получили от них титулы и они явно хотели приручить "дикарей", чтобы в последствии направлять их на непокорных даря безделушки.