Точное объяснение имени, которое косвенно объяснил Рашид ад-Дин, дает ДТС:
В те времена это было и имя собственное, и титул:
Выходит, что разные написания имени в источниках в русских переводах - Октай, Огэдэй, Угэдэй, Угедей - все приближенно верны.
Вероятно от оригинальных тюркских - Ögtaj и Ögädäj (в зависимости от наречия носителя и окружающих).