Похоже, что вы не читаете даже повторные посты.
Чингиз был вторым человеком в кереито-сагизском обьединении согласно Джувейни, а этот человек знал о чем писал. В этом обьединении было две ханскии линии, первая кереитская, а вторая найманская. Меня всегда мучил вопрос, откуда вообще появились кереиты и найманы "как снег на голову" со своими династиями. Поэтому изучал подробно историю дочингизовских татар (в собират. смысле), т.е. неверных тюрков. Понятно, что эти племена существовали, но под другими названиями. Напр. я показал почему считаю йабаку прежде всего найманами в племенном смысле, а в широком собирательном - это вся коалиция неверных тюрок (можно обьяснить и как мұңлы "опечаленные). Впрочем об этом всем уже писал.
Также писал, что Кайа=архаичное Кир (или даже Қир) и это синонимы в значении "гора,скала".
Этот народ (тогуз огузы) очень любил использовать синонимы в своих названиях, я до конца не понял почему, либо из-за шаманских сеуеверий либо использовали китайские схемы табуирования имен предков, в любом случае это вопрос отдельных исследований. Таких примеров использования синонимов у меня накопилась целый вагон и маленькая тележка. При сопоставлении ССМ и работы РАДа выяснил, что один и тот же род татар (который пленил Амбахая) был назван тремя близкими по семантике названиями чаган/аригут/бэйлуут 1. чаган (белый, а белый цвет ассоциировался со святостью) 2. аригут (ариг-чистый, святой (holy) с древнетюркс.) 3. бэйлуут (баят, байлу -святой с древнетюрк., совр. алтайского). Сейчас у алшынов сохранилось только одно название байулы и то они, объясняют его как дети некого богача и т.д.
(Или кипчаки=куманы=куны и рядом кимак (комук)=йемек=онгир, которые имеют одно общее лексич. значение "выдолбленная полость".)
Поэтому я сейчас уверенно пишу, что название Кайа означало то же самое что и архаичное Кир-Қир и являлись эпонимными этнонимами (Баянчур или Қирай). Поэтому мне понятно, почему ибн Фадлан писал о неком Катагане из Кайа, тогда (в начале 10 века ) эта группа огузов находилась где-то в зап. Казахстане. Но не забывайте, что Кайа=архаичное Кир-Қир - это эпонимный этноним типа Узбек, Шибан, Ноғай, где были разные роды и одна правящая династия. В Қайа-Кир-Қир правящая династия была из яглакаров, Ван-хан тоже из яглакаров должен был происходить, а вот был ли Чингиз из яглакаров неизвестно, может потомок сторонников, который сделал банальный силовой захват власти.