Непонятно когда произошло заимствование этой легенды и было ли оно. Но то, что в этом обвиняют Машхур Жусупа - это вообще бред сивой кобылы. Пусть еще скажут что и легенду о Коркуте Машхур Жусуп где-то вычитал и приписал казахам)
Эти легенды "гуляли" среди кочевых народов Евразии испокон веков.
По Даравадари (14 век) монголы и кипчаки не расставались с Огуз-намэ.
Юдин писал же, что чингисизм победил огузизм, поэтому всё что связано с Чингизом объективно затмевало всё остальное.
Казахский фольклорный материал об Уызе несколько отличается от туркменской легенды.
У Потанина тоже зафиксировано предание, что корень казахов уузского рода, т.е. огуз.
Имена у кочевых народов давалось ситуативно. Огуз на казахском "Уыз" и означает "молозиво". Писали, что раньше у казахов был праздник молозива, Уыз мейрамы. Прямая связь с "молозивом" Уыз и имянаречением Огуз-Уыз прослеживается в узбекском предании об Огузе, зафиксированном в Кунгратском районе Узбекистана...
Подробнее в этой теме https://forum-eurasica.ru/topic/6369-огуз-уыз-ууз/