Я не зря указала двойное название, т.к. по сути индейские Адаи - это индейцы каддо, говорящие на языке одноязычной группы. А слово Адаи происходит от слова из этого же языка - языка каддо - "hadai" - кустарник, непроходимые заросли... видимо, они жили в таких условиях. Но это индейцы Каддо. Адайский язык - язык из этой группы.
У многих индейских народностей есть свои сайты и форумы. Поищите, они с удовольствием с Вами пообщаются. Может, это Ваш род произошел от них