Рашид-ад-дин:
"... Прозванием детей Есугей-бахадура стало Кият-бурджигин, что по-тюркски значит человек, глаза которого синие."
"... Бурджигин же по-тюркски [значит] человек, глаза которого синие."
Монгольский историк А.Очир объясняет это название: "... Из тюркского языка "волчий принц".
Легендарный тюркский персонаж Коркут согласно экземпляру дрезденской библиотеки, тоже был из рода Кият.
Борджигин не этноним, поэтому и не было в недавнем прошлом и в современном мире борджигинов. Думаю, что в Монголии последних 25 лет это банальная дань моде причислять себя к громким фамилиям, группам или родоплеменам, потому что ни путешественники, ни исследователи Монголии вплоть до 20 века не были знакомы с одноименным племенем, что косвенно подтверждает и халхизированная искаженная огласовка названия из книг - боржигон.