Излагаю свою версию. Сразу оговорюсь, что не являюсь профессиональным историком, но полагаю свою версию достаточно непротиворечивой.
1. Хазария получила не просто кагана из рода Ашина. Вместе с ним пришла его орда. Вероятно в нее входили представители племенного союза нушиби, потерпевшие поражение в борьбе с дулу.
2. Именно орда заложила основу профессионального войска хазарских каганов, являясь таким войском по сути.
3. Ввиду незначительности числа профессиональных воинов, сопровождавших первого кагана, войско пополнялась за счет огузских племен, которые позднее были идентифицированы как "хорезмийцы". Их потомки и стали "ларсиями".
4. Ошибочно считать ларсиев наемниками. Они жили отдельным кварталом, служба была наследственной, их четко выделяли из хазарского общества только профессия (профессиональная воинская служба, типа стрельцов) и религия - ислам. Они имели особый статус, из них назначался визирь, который ими командовал. Что вполне логично - до гражданских министров обороны тогда было далеко.
Таким образом, логично предположить, что ларсии это тюрки, пришедшие вместе с родом Ашины, но не входившие в него. Также болгары были данниками тюркютов, но не были тюркютами. Так как тюрков к хазарам пришло мало - я думаю, что речь шла о нескольких сотнях, вместе с семьями, то вполне возможны были миграции и смены статуса: часть их интегрировалось в состав аристократии и приняло иудаизм, а профессиональное войско (орда) пополнялось с родной Степи. И так как на каком-то этапе она стала мусульманской, то и войско стало чисто мусульманским.
Возможно, что предположение о том, что войско и командование принадлежало к разным конфессиям слишком смелое. Но хазары по всем источникам отличались на начальном этапе веротерпимостью. Той же Золотой Орде одно время ничто не мешало терпеть подчинения ханам с разными религиозными пристрастиями. Да и в Тюркютском каганате такие случаи были. Поэтому вполне возможно.
В доисламскую эпоху в Степи не было жесткой связи между конфессиональной принадлежностью правителя и Орды. Чингизиды верили и в Тенгри, и в Христа, и в Аллаха. И их воины тоже до определенного этапа имели столь же разнообразные взгляды на жизнь. Пусть это более поздняя эпоха, но аналогия здесь вполне допустима. Поэтому ситуация когда каган по политическим мотивами принимает иудаизм (видимо в глубине души полагая это "уточненным вариантом" веры в Тенгри), а его войско, пополняемое за счет соплеменников-огузов из Степи является мусульманским вполне возможна. Тем более арабские путешественники и византийцы, оставившие свои воспоминания о Хазарии, описывали уже сложившееся положение дел, но не уточняли откуда взялись в Хазарии "хорезмийцы"-ларсии и какой веры они были изначально.
А что касается жалованья и выплаты им части добычи, так это не делает их наемниками. Стрельцы тоже жалованье получали... А военный лидер всегда делился частью добычи с войском. Поэтому у историков, считающих ларсиев наемниками, мне кажется, тенденциозный подход.