Боржигон это произношение в разговорной речи некоторых групп в Центральной Монголии. И звук г там более похож на казахский ғ. А так этот этноним пишется как боржигин.
Это такая утка (откуда взялась не знаю), что в Монголии все повально боржигины и взяли эту "фамилию" лишь примазаться к золотому роду.
Как известно у монголов родовые подразделении все еще сохранялись вплоть до начала ХХ века. Когда страна вступила на путь модернизации, по распоряжению правительства стали использовать в официальных бумагах только две имени - собственное имя и имя отца. Как например Намбарын Энхбаяр - Энхбаяр [сын] Намбара. До этого в Цинский период только собственное имя. Почему же тогда не ввели фамилию неизвестно. Но многие тогда же понимали что это такое куцое решение и поэтому использовали тройное имя в качестве фамилии указав свой род. Я листал многие анкеты 20-30-х гг. Часть интеллигенции именно так представлялись. Еншөөбү Раднаажавын Ринчен, Боржигин Дашдоржийн Нацагдорж, Хатагин Цэндийн Дамдинсүрэн, Онход Сангажавын Жамьян, Бүрид Бавуучинбуугийн Буянчуулган.
Но большинство простого народа так и остались с двойным именем и со временем, память о бывших своих родовых названиях утратили, как всякое феодальное прошлое. Но четко помнили и передавали информацию о родственниках до 7-го колена в некоторых местах даже до 9-го.
И вот в конце 90-х, правительство новой Монголии созрело для решения ввести все таки фамилию. Но память у народа частично утрачена. Поэтому предложение было можно придумать себе фамилию. Кстати такая практика широко известно в мировой истории, в Японии, в Турции и во всех странах где модернизация происходила можно сказать на глазах, т.е. не очень-то давно. Поэтому часть монголов, которые забыли свои родовые названия придумали себе фамилии. В большинстве случаев это названия местности где их предки проживали. Были курьезы как например космонавт Гуррагчаа взял себе фамилию Сансар что означает космос. Но это скорее исключение.
Теперь вернемся к боржигинам.
В Монголии есть место где компактно проживают представители этнической группы халха-монголов под названием боржигин-халх. В цинский период это был один большой хошун Сэцэн-ханского аймака. Теперь это несколько сомонов Дундгобийского аймака и Гоби-Сумбэрский аймак. Монгольские этнографы давно исследовали эту группу и выяснили почему они называются боржигинами и хошун назвался Боржигинским хошуном.
Наиболее близкое к истине предположение - Они были так названы со стороны соседей. Потому что их засак-нойон правитель хошуна, в начале Цинского периода за проступки был лишен всех звании и много лет находился в военной службе, чтобы исправить свою вину. А как известно в Цинский период, тех тайджей которые совершили преступление лишали статус тайджи-т.е. дворянства, они превращались в простых подданных хошуна. Назывались они уже не тайджи, а просто боржигинами. Такого рода действие назывался боржигилох-сделать [простым] боржигином. Поэтому в течении 30 лет когда правитель хошуна находился в "ссылке", его хошун назвали боржигинским хошуном. Поэтому за этим хошуном закрепился такое прозвище. Представители этого хошуна приняли это название и у них своеобразное локальное этническое сознание сформировалось. Поэтому когда в конце 90-х годов ввели фамилию уроженцы тех мест взяли себе фамилию боржигин, иногда их записали как боржигон потому что полуграмотные работники паспортных отделов, не смогли различать разговорную версию от письменного. Естественно эти люди по происхождению вряд ли являются чингисидами. Просто у них локальная этническая самоидентификация такая.
А настоящие же потомки дворян т.е. тайджей взяли себе фамилию хиад боржигин, боржигин тайж, алтан ураг боржигин чтобы отличать себя от вышеназванных боржигинов.
Недавняя статистика показывает что в Монголии на данный момент зарегистрирован больше 90 тыс. фамилии и из них около 18% носят фамилию с различными вариациям этнонима боржигин.
Учитывая того факта что в дореволюционной Монголии представители класса тайджей было около 10%, не так уж и велик процент "самозванцев". Добрая часть из них же и являются вышеприведенные Дундгобийские боржигоны.