В казахском есть два варианта предания, в одном Жанибек хан, во второй Турсын хан. Не факт, что это Жанибек золотоордынский. У нас свои были два хана Жанибека. Второй как раз современник Турсына.
Сомнительно, что с жетыру. Тама и другие там полно отдельных топонимов. Скорее связан с отдельным родом картказак. Либо картказак и байказак вообще не связаны с родоплеменным названиями.
Он же писал про казаков Амета и Самета. Что это первый казакский союз.
Ну это один из версий же. Так могли их прозвать алшыны, которые позднее вошли в казахское ханство.
Кстати, на карте Махмуда Кашгари татары западнее имаков расположены. Имаки между Иртышом и Или. За Или татары. На севере от имаков Башкирты, на севере от татар Басмылы. Западнее Татар Кипчаки и Огузы.
Да, некоторое время Аюка был силен, может даже и победил в отдельных битвах казахов и каракалпаков, но казахи его данниками не были, и не покорились ему. Чего там говорить об Аюке, если даже джунгарам этого не удалось сделать.
Карт-казак это скорее казаки Амет-Самета, разгромленные Тимуром. Кочевали в Каракумах, и Казак йайлағы примерно на западе Казахстана, там где Барак-хан и отмечен в источниках.