Связи рода (племени) Айле с муйтенским родом Айлар в трудах башкирских этнологов не упоминается. Но выдающийся этнолог, историк Р.Г. Кузеев писал о "преобладании огузо-печенежского компонента первоначально в племени Айле" и родственных связях с туркменами и каракалпаками. Рекомендую почитать его труд "Происхождение башкирского народа". Это основа для понимания этнической истории башкир и связях с другими народами. В сети интернет эту книгу можно найти.
Что касается кучумовичей, то башкирские историки специально не занимались исследованием их династийной истории среди каракалпаков. Они изучались в контексте башкирских восстаний. Только А.-З. Валиди Тоган в "Истории башкир" более подробно пишет о потомках Кучума и связях башкир, каракалпаков и казахов. Эта книга в сети также есть.