Все же более оригинальная форма "жагалмай" это крест (не зря же он так и переводится с монгольского) или Т-образная форма (сокол/кобчик в полете). И если говорить в общем, то на Саяно-Алтае это был целый культ "крылатого духа-коня", который скорее всего эволюционировал из культа птицы-богини Умай. Я уже много про это писал:
https://eurasica.ru/forums/topic/7397-чигиль-эзгиль-эскел-асицзе-ишкиль-esegel-izgil-манихейство/#findComment-479584
Но если вернуться к исходному вопросу об этнониме "кыргыз", то продуктивнее было бы рассмотреть тамги самих енисейских кыргызов. Насколько можно судить, их основная тамга с двумя или четырьмя соединенными дугами напоминает то ли летящую птицу, то ли летящего духа. Но как понять что это именно хищная птица, точнее ястреб или коршун? В этой связи небольшая цитата из статьи Юрия Есина:
Снова повторюсь, что к совр. тамге и культу "жагалмай" эти древние тамги ен.кыргызов скорее всего не имеют прямого отношения. И тогда сам этноним "кыргыз" мы должны гипотетически связать с ястребом/коршуном, а не с соколом/кобчиком.