Первый компонент чувашской здравицы тав сана происходит от арабского دعو "приглашение". Изначальный смысл здравицы: "приглашаю тебя (т.е. выпей со мной)".
Чувашский традиционный обряд пития спиртных напитков отличается от, скажем, современного русского. Чуваши пьют так. Угощающий наливает напиток в сосуд (стакан, рюмка, чаша, ковш), обращается к сидящему слева (угощение идет "по ходу солнца") от него со словами тав сана (это означает, что следующая порция будет предназначена этому человеку. Он должен ответить в ответ "тавĕç". После чего, угощающий выпивает спиртное (то есть, он всегда пьет первым, это старый степной обычай, отголосок демонстрации того, что питье не отравлено), наливает еще порцию в тот же сосуд и передает сидящему слева. Тот снова произносит "тав сана", обращаясь уже к своему соседу слева и, после ответного "тавĕç", выпивает, возвращает сосуд угощающему для наполнения и так по кругу.
Ответное слово "тавĕç" этимологизируется вовсе не как тав ĕç (спасибо, пей), а как тав çийе, тав сăя "приглашение на угощение (ответное)", что подтверждается вариантами тавăси, тавсси, тавссе, тавсийе, тавçие (сăй, сий "угощение", çи- "есть") и т.п.
Последние порции часто пьются гостями со словами тав сана, сав мана (исторически "приглашение тебе, люби-уважай меня), обращаемыми уже напрямую к угощающему. Этим выражается благодарность за угощение (исторически еще и приглашение на ответное).
Рассматриваемое слово тав, было заимствовано как переднерядное (как и многие другие арабизмы в чувашском), иначе к настоящему времени оно бы выглядело в чувашском как тыв или ту (в 15-16 вв в чувашском языке произошли переходы ä>а, а>о/u).
Сами видите, что это слово никак не может иметь отношение к ТΑΓΡΟΓН в надписи из Надь-Сент-Миклош.